EBOB-EKOK Hesaplama
En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat
EBOB ve EKOK Nedir?
EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla doğal sayının her birini tam bölen sayılar arasında en büyük olanıdır. İngilizcede GCD (Greatest Common Divisor) olarak bilinir. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise bu sayıların her birinin katı olan pozitif sayılar arasında en küçüğüdür; İngilizcede LCM (Least Common Multiple) denir.
EBOB "büyük parçayı eşit bölmek", EKOK ise "farklı döngülerin tekrar buluşması" ile ilgilidir. Bir kumaşı artık kalmadan en büyük eşit parçalara kesmek EBOB, farklı aralıklarla kalkan otobüslerin ne zaman aynı anda kalkacağını bulmak EKOK sorusudur. Konu 6. sınıfta başlar, 8. sınıf "Çarpanlar ve Katlar" ünitesinin merkezinde yer alır ve LGS'de neredeyse her yıl problem olarak karşımıza çıkar. TYT'de de bölünebilme, kesirler ve problemler başlıklarında sık kullanılır. Yukarıdaki EBOB EKOK hesaplayıcısına sayıları virgülle ayırarak girerek iki veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK değerlerini, asal çarpanlarıyla birlikte görebilirsiniz.
Bölenler ve Katlar Yöntemi
Örnek: 12 ve 18'in EBOB'u
- 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 ⇒ En büyüğü: 6
Örnek: 4 ve 6'nın EKOK'u
- 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
- 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30...
- Ortak katlar: 12, 24, 36... ⇒ En küçüğü: 12
Bu yöntem küçük sayılar için anlaşılırdır ama sayılar büyüdükçe çok zaman alır. Sınavda daha hızlı iki yöntem kullanılır: asal çarpanlara ayırma ve Öklid algoritması.
EBOB ve EKOK Nasıl Hesaplanır?
1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
- Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın ve üslü biçimde yazın. (Bu adım için asal sayı hesaplayıcısının "Asal Çarpanlara Ayır" modunu kullanabilirsiniz.)
- EBOB için: Yalnızca tüm sayılarda ortak olan asalları alın; her birinin en küçük üssünü seçin ve çarpın.
- EKOK için: Sayılarda geçen tüm asalları alın; her birinin en büyük üssünü seçin ve çarpın.
84 = 2² × 3 × 7 120 = 2³ × 3 × 5
EBOB = 2² × 3 = 12 EKOK = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840
2. Öklid Algoritması
Büyük sayılarda EBOB bulmanın en hızlı yoludur ve bilgisayarlar da bu yöntemi kullanır. Büyük sayı küçüğe bölünür; ardından bölen, kalana bölünür. Kalan 0 olduğunda son bölen EBOB'dur.
EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b), EBOB(a, 0) = a
EBOB(48, 36): 48 = 1 × 36 + 12 → 36 = 3 × 12 + 0 ⇒ EBOB = 12
3. Bölen Merdiveni (Ortak Bölme)
Sayılar yan yana yazılır ve en az birini bölen asal sayılarla sırayla bölünür; tüm sayılar 1 olana kadar devam edilir. Kullanılan tüm bölenlerin çarpımı EKOK'u, yalnızca tüm sayıları aynı anda bölen asalların çarpımı EBOB'u verir. Bu yöntem özellikle üç veya daha fazla sayı için pratiktir.
EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki
EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b
Yani EKOK = (a × b) / EBOB. Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir.
- EBOB, sayıların en küçüğünden büyük olamaz; EKOK, en büyüğünden küçük olamaz.
- a sayısı b'yi bölüyorsa EBOB(a, b) = a ve EKOK(a, b) = b'dir. Örneğin EBOB(6, 18) = 6, EKOK(6, 18) = 18.
- İki sayı aralarında asalsa EBOB = 1 ve EKOK = a × b'dir. Örneğin EKOK(8, 15) = 120.
- Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
EBOB EKOK Hesaplama Örnekleri (Çözümlü)
Örnek 1: Tarlayı Kare Parsellere Bölmek (EBOB)
Kenarları 72 m ve 48 m olan dikdörtgen bir tarla, hiç artık kalmayacak şekilde eşit büyüklükte ve mümkün olan en büyük kare parsellere ayrılacaktır. Bir parselin kenarı kaç metredir ve kaç parsel oluşur?
Çözüm: Kare kenarı hem 72'yi hem 48'i bölmeli ve en büyük olmalıdır: EBOB(72, 48) = 24 m. Parsel sayısı (72 / 24) × (48 / 24) = 3 × 2 = 6.
Örnek 2: Otobüslerin Buluşması (EKOK)
Bir duraktan A hattı 12 dakikada bir, B hattı 18 dakikada bir kalkmaktadır. İki otobüs saat 08:00'de birlikte kalktıysa ilk kez ne zaman tekrar birlikte kalkarlar?
Çözüm: EKOK(12, 18) = 36 dakika. İki otobüs 08:36'da tekrar birlikte kalkar. Zaman eklemeli soruları süre hesaplama aracıyla kontrol edebilirsiniz.
Örnek 3: Üç Sayının EBOB ve EKOK'u
24, 36 ve 60 sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.
Çözüm: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5. EBOB = 2² × 3 = 12. EKOK = 2³ × 3² × 5 = 360. Dikkat: 24 × 36 × 60 = 51.840 iken 12 × 360 = 4.320'dir; üç sayıda çarpım kuralı geçerli değildir.
Örnek 4: Kesir Sadeleştirme
84/126 kesrini en sade hâline getiriniz.
Çözüm: EBOB(84, 126) = 42. Pay ve payda 42'ye bölünür: 84/126 = 2/3.
Örnek 5: Kesirleri Toplamak
5/12 + 7/18 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: Ortak payda EKOK(12, 18) = 36'dır. 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 ⇒ toplam 29/36. Paydaları doğrudan çarpmak (216) da doğru sonuç verir ama sadeleştirme gerektirir.
Örnek 6: Kalanlı Bölme (LGS Tipi)
4'e, 6'ya ve 9'a bölündüğünde her seferinde 3 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? (Sayı 3'ten büyüktür.)
Çözüm: Sayıdan 3 çıkarılırsa kalan sayı 4, 6 ve 9'a tam bölünür. EKOK(4, 6, 9) = 36 ⇒ aranan sayı 36 + 3 = 39. Kontrol: 39 = 4 × 9 + 3 = 6 × 6 + 3 = 9 × 4 + 3 ✓
Hangi Soruda EBOB, Hangisinde EKOK?
| Soru İpucu | Kullanılacak | Tipik Örnek |
|---|---|---|
| "En büyük", "eşit parçalara ayırma", "artık kalmadan bölme" | EBOB | Kumaş, tahta, tarla bölme; kutulara eşit dağıtım |
| "En az", "ilk kez birlikte", "tekrar aynı anda" | EKOK | Otobüs, zil, ilaç saatleri; dişli çarklar |
| Bir kenara eşit aralıklarla ağaç dikme (en az ağaç) | EBOB | Aralık = EBOB, ağaç sayısı = çevre / aralık |
| Küçük karolardan en küçük kare oluşturma | EKOK | Kare kenarı = EKOK(karo en, karo boy) |
| Kesir toplama ve çıkarma | EKOK | Ortak payda |
| Kesir sadeleştirme | EBOB | Pay ve paydayı EBOB'a bölmek |
Problemi oran ve orantı ile kurmanız gerekiyorsa oran orantı hesaplayıcısını, ilgili kombinasyon sorularında faktöriyel aracını kullanabilirsiniz.
Sık Yapılan Hatalar
- EBOB ile EKOK'u karıştırmak: "En büyük parça" sorusunda EKOK hesaplamak çok yaygın bir hatadır. Soru "bölmek" diyorsa EBOB, "buluşmak" diyorsa EKOK düşünün.
- Üs seçimini ters yapmak: EBOB'da ortak asalların en küçük, EKOK'ta tüm asalların en büyük üsleri alınır.
- Üç sayıda çarpım kuralını kullanmak: EBOB × EKOK = a × b eşitliği yalnızca iki sayı için doğrudur.
- Ağaç dikme sorularında köşeleri unutmak: Kapalı bir çevre boyunca dikilen ağaç sayısı çevre / aralık'tır; açık bir doğru boyunca ise (uzunluk / aralık) + 1'dir.
- Aralarında asal ile asalı karıştırmak: 8 ve 9 asal değildir, ancak aralarında asaldır; EBOB'ları 1'dir.
EBOB ve EKOK konuları MEB 8. sınıf matematik programının ilk ünitesinde yer alır ve LGS'de genellikle günlük hayat problemi şeklinde sorulur.
Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal sayıların 1'den başka ortak böleni olmadığı için EBOB'ları 1'dir. Örneğin 8 ve 15 aralarında asaldır; EBOB(8, 15) = 1 ve EKOK(8, 15) = 8 × 15 = 120'dir.
EBOB kesir sadeleştirmede ve bir bütünü artık kalmadan en büyük eşit parçalara bölmede kullanılır. EKOK ise kesirlerde ortak payda bulmada ve farklı aralıklarla tekrarlanan olayların ne zaman çakışacağını bulmada (otobüs saatleri, dişli çarklar, zil çalma) kullanılır.
Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç veya daha fazla sayıda EBOB ile EKOK'un çarpımı genellikle sayıların çarpımına eşit değildir. Örneğin 24, 36 ve 60 için EBOB × EKOK = 12 × 360 = 4.320 iken sayıların çarpımı 51.840'tır.
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. EBOB için yalnızca ortak asalların en küçük üsleri, EKOK için tüm asalların en büyük üsleri alınıp çarpılır. Örneğin 84 = 2² × 3 × 7 ve 120 = 2³ × 3 × 5 için EBOB = 12, EKOK = 840'tır.
Öklid algoritması, büyük sayıyı küçüğe bölüp ardından böleni kalana bölmeyi, kalan sıfır olana kadar tekrarlayan bir EBOB bulma yöntemidir. Kalan sıfır olduğunda son bölen EBOB'dur. EBOB(48, 36) için 48 = 1 × 36 + 12 ve 36 = 3 × 12 olduğundan EBOB 12'dir.
Soru bir bütünü eşit ve en büyük parçalara bölmeyi istiyorsa EBOB, farklı periyotların ilk kez birlikte gerçekleşeceği anı veya en küçük ortak büyüklüğü istiyorsa EKOK kullanılır. Kısaca 'bölmek' EBOB'u, 'buluşmak' EKOK'u çağrıştırır.
a sayısı b'yi tam bölüyorsa EBOB(a, b) = a ve EKOK(a, b) = b'dir. Örneğin EBOB(6, 18) = 6 ve EKOK(6, 18) = 18'dir.
Hesaplayıcıya iki veya daha fazla pozitif tam sayıyı virgülle ayırarak girebilirsiniz. Sonuçta EBOB, EKOK ve her sayının asal çarpanlarına ayrılışı gösterilir; iki sayı girdiğinizde EBOB × EKOK = a × b kontrolü de yapılır.